Néhány nappal ezelőtt egy hatalmas tűzgolyó szelte át az eget Kanada felett és felrobbant, majd lezuhant valahol Saskatchewan tartományban. Viszonylag friss hír, hogy megtalálták néhány darabját, aminek egyetlen grammja 10 dollárt ér, a tudományos értékéről nem is beszélve. Ebben a bejegyzésben azt szeretném illusztrálni, hogyan segíthet a geometria a meteoritok fellelésében.
A probléma a következő: szemtanúk látták, milyen irányba haladt az égen a meteor. Meg tudjuk-e ebből állapítani azt a helyet, ahol lezuhant? Az érthetőség kedvéért néhány egyszerűsítő feltételezéssel fogok élni. Először is a mára kissé meghaladottá vált, de nekünk ideiglenesen megfelelő Lapos Föld-modellt fogom használni. Feltesszük továbbá, hogy a meteor pályája egyenes, és hogy nem robban szét mielőtt lezuhan. Képzeljük el, hogy van egy szemtanúnk, akit elhelyezünk egy koordinátarendszer origójában, majd megkérdezzük tőle, hogy hol látta a meteort. A lapos földfelszínnek az xy-síkot feleltetjük meg. A meteor pályájának (lilával jelölve) az a darabja, amit a szemtanú látott, legyen a PQ-szakasz, lásd az ábrát.
Milyen információt tud nekünk szolgáltatni egy szemtanú? A P és a Q pont helyzetét nem tudja megmondani, mert ahhoz tudnia kellene, hogy mekkora távolságra volt tőle a meteor. Az emberek ezt általában nagyon tévesen becsülik meg, akkor is azt hiszik, hogy a meteor tőlük párszáz méterre húzott el, ha a valóságban ez száz kilométer volt. Igazából a szemtanú csak az irányokat tudja megmondani, vagyis az OP egyenest és az OQ egyenest. Ebből annyit tudunk csupán megállapítani, hogy a meteor az OPQ síkban haladt.
Egy sík egyenlete a térben z=ax+by+c alakú. Mivel az OPQ sík átmegy az origón, ebben az esetben c=0. Hogyan tudjuk meghatározni a-t és b-t? Ehhez elég, ha a szemtanúnk meg tudná mondani a P (és a Q) ponthoz tartozó két szöget (φ, θ). A P pont koordinátái (ρsin(φ)cos(θ), ρsin(φ)sin(θ), ρcos(φ)). Ebből ρ ismeretlen, de a sík egyenletébe beírva kiesik, és kapjuk, hogy cos(φ)=asin(φ)cos(θ)+bsin(φ)sin(θ). Hasonló egyenletet (cos(φ')=asin(φ')cos(θ')+bsin(φ')sin(θ')) kapunk a Q ponthoz tartozó φ', θ' szögekből is, a két egyenletet a,b-re már könnyedén megoldhatjuk (a képletet most mellőzném), ami megadja az OPQ síkot.
A meteor pályájának megállapításához kell tehát még egy szemtanú, aki egy másik helyről látta a meteort, beszámolója alapján az előzőhöz hasonlóan most is meghatározhatjuk egy sík egyenletét, legyen ez z=ux+vy+w. Van tehát két síkunk (z=ax+by és z=ux+vy+w), ezek metszete egy egyenes. Ennek kell kiszámolni a metszéspontját a Föld síkjával (z=0) és megvan a lezuhant meteorit helye, vagyis az ax+by=0, ux+vy+w=0 egyenletrendszert kell megoldani x,y-ra, amiből kapjuk, hogy x=bw/(av-ub) és y=aw/(ub-av) a lezuhant meteorit koordiátái.
Működik-e ez a gyakorlatban? Jeremy Tatum kanadai csillagász és meteorvadász elmondása szerint a szemtanúk beszámolói annyira pontatlanok, hogy neki még soha nem sikerült meteoritot találnia az alapján. Úgy viszont már négyet is, ha valaki fényképet is készített! Persze ehhez a Lapos Föld-modellünknél kicsit bonyolultabb matematikára volt szüksége.
A kanadai tűzgolyóról pedig látványos videók is készültek, íme:
