Gyerekkoromban gyakran játszottam a következőt a számológépemmel: induljunk ki egy tetszőleges számból, majd kezdjük el nyomkodni a √ gombot. Kapunk így egy számsorozatot, pl. ha a kiindulási számunk 9, akkor a következőket: 3, 1.73205, 1.31607, 1.1472, 1.07108,..., egyre kisebb, de 1-nél nagyobb számokat kapunk. Öt tizedesjegy pontossággal számolva még kb. 20 lépés és eljutunk az 1-hez, aminek a négyzetgyöke önmaga. Ezt a kísérletet megismételhetjük más kiindulási értékekkel is: azt kapjuk, hogy ha 1-nél nagyobb számból indulunk, akkor egy csökkenő sorozatot kapunk, míg 1-nél kisebb (de pozitív) számokból indulva növekvő sorozatot kapunk. De minden esetben előbb-utóbb eljutunk az 1-hez (valójában persze csak konvergálunk 1-hez, de a számológép véges pontossága miatt a kijelzőn egy idő után az 1-es szám fog megjelenni). Ezt a jelenséget úgy hívjuk, hogy az 1 a négyzetgyök-függvény attraktív (vonzó) fixpontja.
Kézenfekvő ezek után megnézni, hogy mi történik, ha a négyzetgyök helyett valami más függvénnyel kísérletezünk. Komolyabb számológépeken van exp gomb is, nézzük hát az exponenciális függvényt. Azt látjuk, hogy tetszőleges a pontból indulva az a, exp(a), exp(exp(a)),exp(exp(exp(a))), … sorozat irtó gyorsan növekszik és számológépünk hamar kiakad. Próbáljunk ki még egy függvényt, mondjuk a cos-t. Hamar meggyőzhetjük magunkat, hogy tetszőleges pontból indulva és a cos-t ismételgetve viszonylag gyorsan mindig 0.73908-nál kötünk ki (radiánban számolva), bár a sorozatunk most nem lesz monoton.
Ha egy f függvényt egymás után ismételten alkalmazunk, azt iterációnak nevezzük. Az előző példák alapján gondolhatjuk azt, hogy ha veszünk egy egyszerű hétköznapi függvényt és egy a pontot, akkor az iteráltak sorozata ( a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))).... ) mindig valami nagyon egyszerű viselkedést mutat: egy adott értékhez tart, vagy minden határon túl nő. Mi sem lehetne távolabb a valóságtól! Vannak nagyon egyszerű másodfokú polinomok, amik rendkívül furcsa, bizarr viselkedést mutatnak. Nézzük például az f(x)=4x(1-x) függvényt, és válasszunk egy tetszőleges kezdőpontot 0 és 1 között (könnyű látni, hogy ez a függvény a [0,1] intervallumot önmagára képezi), lássuk, mit tapasztalunk, mondjuk 0.1-ből indulva:
0.1, 0.36, 0.9216, 0.289014, 0.821939, 0.585421, 0.970813, ...
Ránézésre semmilyen szabályosságot nem tudunk felfedezni, mintha teljesen céltalanul, vaktában bolyonganánk 0 és 1 között.. Ha egy kicsit más kezdőpontot választunk, pl. 0.09-et, akkor ezt a sorozatot kapjuk: 0.09, 0.3276, 0.881113, …, a kezdőpontok közötti 0.01 különbség két lépés után már kb. 0.4-re nőtt az előző sorozattal összevetve. Próbálkozva más kezdőpontokkal, néha visszatér a sorozat egy korábbi értékre, de a legtöbbször össze-vissza ugrálónak tűnik, akkor is, ha nagyon sokáig folytatjuk az iterálást. Most változtassuk meg egy kicsit a függvényünket, legyen f(x)=3.839x(1-x). Tetszőleges 0 és 1 közötti pontból indulva, kellő türelemmel észrevehetjük, hogy a sorozatunk megállapodik a 0.149888, 0.489172, 0.9593 számhármason, és utána már csak ez ismétlődik újra meg újra. Az f(x)=rx(1-x) családot logisztikus leképezésnek hívják, és majd egy külön bejegyzést megér, hogy hogyan változik a dinamikája, amint r értékét változtatjuk. Bizonyos r értékekre az iterált sorozat viselkedése kaotikussá válik.
A fentiek mindegyike példa egyszerű dinamikai rendszerekre (valaki dinamikus rendszereknek mondja, de szerintem az hülyén hangzik). Általánosságban a dinamikai rendszerek időben változó, determinisztikus fizikai, vagy biológiai rendszerek matematikai modelljei. Folytonosan változó rendszerek esetén ezt az időbeli fejlődést tipikusan valamilyen differenciálegyenlet írja le, ezekről majd később lesz szó. Diszkrét dinamikai rendszernek azt nevezzük, ha van egy leképezésünk valamilyen halmazon, ahol a halmaz elemei a rendszer lehetséges állapotai (egyszerűbb esetben számok, de lehetnek vektorok vagy akár komplikáltabb dolgok is), és ezt iteráljuk. A leképezés mondja meg, hogy egy adott állapotból hova kerül a rendszer. Például, ha egy populáció létszámának megváltozása egyik generációról a másikra (vagy egyik évről a másikra) egy függvénnyel adható meg, akkor az iteráltsorozat vizsgálatából lehet megmondani, mi fog történni a populációval: kihal, periodikusan oszcillál, túlszaporodik, esetleg véletlenszerűnek tűnő ingadozásokat mutat.
