Képzeljük el, hogy van egy hatalmas birkanyájunk, amelyiknek minden tagja érzékeny valamilyen fertőző betegségre. Szerencsére a betegség ellen van vakcina. Elkezdjük beoltani a nyájunkat, de a végén észrevesszük, hogy egy birka kimaradt. Érdemes-e azzal vesződnünk, hogy kinyomozzuk, melyik birka volt az? Nem feltétlenül, hiszen ha esetleg meg is betegszik, a többi birkát nem tudja megfertőzni, mert azokat mind vakcináltuk. Mi van akkor, ha két birkát hagytunk ki? Ha hármat, négyet, és így tovább? Ha elég nagy a birkanyájunk és néhány birkát kihagyunk, akkor még mindig nagyon kicsi az esélye annak, hogy egy fertőzött birka pont egy oltatlan birka mellé kerül és meg tudja fertőzni. Összességében a nyájunk immunis lesz, és egy fertőzés nem tud elterjedni. Meddig mehetünk el? Kihagyhatunk-e mondjuk 10%-ot?
Ahhoz, hogy ezt a kérdést megválaszoljuk, meg kell ismerkednünk az elemi reprodukciós szám fogalmával. Ennek jele hagyományosan R0, és azt fejezi ki, hogy egy fertőző egyed várhatóan hány másodlagos fertőzést generál összesen egy teljesen fogékony populációban. Ha például R0=3, akkor az első fertőzött birka 3 másikat fog megfertőzni. Ha elég nagy a nyáj és a birkák véletlenszerűen keverednek, akkor ez a 3 birka jó eséllyel nem fog egymással találkozni és így további 9 fertőzést okoznak, azok 81-et és így tovább. Természetesen ez csak a járvány kezdetén lesz igaz, amíg a fertőző egyedek csak egészségesekkel találkoznak. Vegyük észre, mennyire fontos az, hogy R0>1 vagy R0<1 ( R0 egy átlagos érték, így nem feltétlenül egész szám). Ha R0<1, akkor a betegség gyorsan kihal. Míg ha R0>1, akkor a fertőzések száma hamar megtöbbszöröződik és járvány tör ki. R0=1 tehát egy kritikus érték (matematikailag ezt bifurkációs pontnak nevezzük), és a végkimenetelt meghatározza, hogy ennek a kritikus értéknek melyik oldalán vagyunk.
A reprodukciós szám a legalapvetőbb fogalom a matematikai járványtanban. Minden új matematikai modell esetén az az első, hogy ezt kiszámoljuk. Heesterbeek holland professzor PhD-értekezésének csupán ennyi volt a címe: R0.
Most nézzük meg, hogyan módosítja a reprodukciós számot, ha a birkanyájunk egy részét immunissá tesszük. A példa kedvéért tegyük fel ismét, hogy R0=3, és ez úgy áll elő, hogy egy fertőzött birka 30 másikkal kerül közelebbi kapcsolatba, és minden ilyen találkozás esetén 10% a fertőzés esélye. Világos, hogy ha a nyáj kétharmada immunis, akkor a 30 találkozásból 20 esetben immunissal találkozik a fertőző birka, így a potenciális fertőzési alkalmak száma csupán 10, ennek 10%-a 1. Máris ott vagyunk, hogy reprodukciós szám 1-re csökkent. Ha kétharmad fölé emeljül az immunitási arányt, a reprodukciós szám 1 alá megy és nem tud járvány kialakulni. Általánosan, tegyük fel, hogy a birkák V részét immunissá tettük, vagyis (1-V) arányban vannak a megfertőzhető egyedek. Ekkor az új reprodukciós számunk
Rv = R0 × (1-V) .
A cél a fentiek fényében Rv<1, ami ekvivalens azzal, hogy
1-1/R0 < V.
Ez az egyszerű összefügés mondja meg, egy populáció mekkora részét kell immunissá tenni, hogy ne törjön ki járvány (ami nem teljesen ugyanaz, mint a szükséges oltottsági arány, ha a vakcina hatékonysága nem 100%-os). Ezt „herd immunity”-nek nevezik (közösségi immunitás), amikor egy populáció összességében védett a betegséggel szemben, annak ellenére, hogy nem minden egyede az, és természetesen nem csak birkanyájra lehet alkalmazni. Az alábbi táblázat néhány emberi betegség reprodukciós számának becslését és a szükséges kritikus immunitási arányt tartalmazza.
Betegség | Reprodukciós szám | Kritikus immunitási arány |
torokgyík | 6-7 | 83-86% |
kanyaró | 12-18 | 92-94% |
mumpsz | 4-7 | 75-86% |
szamárköhögés | 12-17 | 92-94% |
gyermekbénulás | 5-7 | 80-86% |
rózsahimlő | 5-7 | 80-86% |
feketehimlő | 5-7 | 80-86% |
spanyolnátha | 2-3 | 50-67% |
Kérdés, hogy ez működik-e a gyakorlatban? Részben igen, részben nem. A szörnyű feketehimlőt sikerült felszámolni, pedig nyilván nem volt a Föld összes lakosa beoltva. Az oltási program előtti évben, 1967-ben még 10 millió ember fertőzödött meg ezzel a szörnyű betegséggel, 1975. óta pedig senki. A feketehimlő felszámolásáról itt olvasható egy érdekes cikk. Hasonlóan a gyermekbénulás is lényegében eltűnt a fejlett országokból. A kanyaró esetében a vakcinaellenes hisztériának és vallási okoknak köszönhetően az oltottsági arány több helyen is a kritikus szint alá csökkent, így évtizedek után ismét több fejlett országban kanyarójárvány tört ki, halálos áldozatokkal.
Ugyanakkor a fenti kis számolásunk azon az egyszerűsítő feltételezésen alapult, hogy a populációnk homogén (mindenki egyforma), és az egyedek véletlenszerűen keverednek. A világban pedig sok heterogenitás található. Ezek figyelembevételére már komolyabb modellekre van szükség.
Az első matematikus, aki járványokkal foglalkozott, Daniel Bernoulli volt 1766-ban a himlő kapcsán írt dolgozatával, amivel másfél évszázaddal megelőzte korát. A 20. század elején a malária elleni munkásságáért Nobel-díjban részesült Ronald Ross ösztönözte a matematikai módszerek használatát, majd az ő kollégái, Kermack és McKendrick alkották meg 1927-ben a nevezetes SIR-modellt, amely a ma is használt kompartment-modellek jó részének az őse. Végezetül egy kis etimológia: a vakcina szó eredete a latin vacca (tehén). Edward Jenner vette észre, hogy a tehénhimlőn átesett fejőnők védettséget szereztek és nem kapták el a feketehimlőt. A szintén latin immunis szó pedig eredetileg a katonai szolgálat alól való mentességet jelentette.
