Nemlineáris Blog

Nemlineáris dinamika. Alkalmazott matematika. Bifurkáció és káosz. Differenciálegyenletek és alkalmazásai. Szegedi matematika. Matematikai hírek, emberek, érdekességek.

facebook

Friss topikok

Üzenet/Javaslat

A nemlinearis(kukac)freemail(pont)hu címen üzenhetsz, vagy javasolhatsz témát a blog szerzőjének.

Címkék

alhambra (1) alice (1) áltudomány (1) arnold (1) autista (1) autogram (1) bioritmus (1) bolgár (1) bolyai díj (1) bor (1) csoportos teszt (1) csuka (1) czeizel (1) dawkins (1) dekoltázs (1) diákolimpia (1) diszkrét dinamikai rendszerek (1) doktori (1) down szindróma (1) du sautoy (2) erdős (1) erdős szám (1) európai matematika kongresszus (1) facebook (1) fail (1) favágó (1) fermat (1) fields medál (3) foci (1) fraktál (3) fraktálok (1) függvény (1) fundamentális lemma (1) galois (1) gardner (1) géntérkép (1) gömböc (2) gráf (1) gyilkosság (1) hausel tamás (1) hellókarácsony (1) holland (1) hollywood (1) homeopátia (1) hülyék (1) idiotizmus (1) időgép (1) immunitás (1) india (1) influenza (1) inga (1) intel (1) interjú (5) iterált (1) japán (1) járvány (3) kalkulus (1) kaotikus (1) karrier (1) képlet (1) kézfogás (1) kneubühl (1) kollaboráció (1) könyv (1) koordinátageometria (1) krakkó (1) kriptográfia (2) kürschák (1) kutatók éjszakája (1) kutatok ejszakaja (1) kvantummechanika (1) kvíz (1) kyoto díj (1) lander (1) lax péter (1) lemma (1) lewis carroll (1) lovász (6) lovász lászló (1) mandelbrot (2) manga (1) maradona (1) matematikus (1) maverick (1) meteor (1) modellezés (1) moziműsor (1) mta (1) musical (1) művészet (2) natalie portman (2) neumann (2) ngo bao chau (1) ngo bau chao (1) nyugdíjas (1) obama (1) olimpia (1) oltás (1) öngyilkosság (1) optimalizálás (2) oscar (1) oxford (1) pályázat (1) parkolás (1) párosítás (1) pécs (1) pi (2) piatetski shapiro (1) proktometria (1) reklám (1) rekord (3) riesz (1) ritoók zsigmond (1) rocksztár (1) royal society (1) rubik (1) ruzsa (2) sigmund freund (1) spanyol (1) statisztika (1) stipsicz (1) svájci (1) szakma (1) számelmélet (1) számítógép (1) szeged (5) szemerédi (1) szemerédi endre (1) szifilisz (1) Szilágyi Áron (1) szimmetria (1) sztori (2) születésnap (1) tanácsadó (1) tanár (1) tanmese (1) tao (2) tardos gábor (1) ted (1) természet világa (2) tévhit (1) texas (1) time magazin (1) transzplantáció (1) tréfa (1) turing (1) valentin nap (1) vasút (1) vb (1) victoria (1) villani (1) vizi e (1) wolfram (1) záróra (2) zeneszerző (1) Címkefelhő

Hogyan előzzük meg a járványokat?

2008.10.17. 16:29 - Nemlineáris

Címkék: oltás járvány immunitás

Képzeljük el, hogy van egy hatalmas birkanyájunk, amelyiknek minden tagja érzékeny valamilyen fertőző betegségre. Szerencsére a betegség ellen van vakcina. Elkezdjük beoltani a nyájunkat, de a végén észrevesszük, hogy egy birka kimaradt. Érdemes-e azzal vesződnünk, hogy kinyomozzuk, melyik birka volt az? Nem feltétlenül, hiszen ha esetleg meg is betegszik, a többi birkát nem tudja megfertőzni, mert azokat mind vakcináltuk. Mi van akkor, ha két birkát hagytunk ki? Ha hármat, négyet, és így tovább? Ha elég nagy a birkanyájunk és néhány birkát kihagyunk, akkor még mindig nagyon kicsi az esélye annak, hogy egy fertőzött birka pont egy oltatlan birka mellé kerül és meg tudja fertőzni. Összességében a nyájunk immunis lesz, és egy fertőzés nem tud elterjedni. Meddig mehetünk el? Kihagyhatunk-e mondjuk 10%-ot?

Ahhoz, hogy ezt a kérdést megválaszoljuk, meg kell ismerkednünk az elemi reprodukciós szám fogalmával. Ennek jele hagyományosan R0, és azt fejezi ki, hogy egy fertőző egyed várhatóan hány másodlagos fertőzést generál összesen egy teljesen fogékony populációban. Ha például R0=3, akkor az első fertőzött birka 3 másikat fog megfertőzni. Ha elég nagy a nyáj és a birkák véletlenszerűen keverednek, akkor ez a 3 birka jó eséllyel nem fog egymással találkozni és így további 9 fertőzést okoznak, azok 81-et és így tovább. Természetesen ez csak a járvány kezdetén lesz igaz, amíg a fertőző egyedek csak egészségesekkel találkoznak. Vegyük észre, mennyire fontos az, hogy R0>1 vagy R0<1 ( R0 egy átlagos érték, így nem feltétlenül egész szám). Ha R0<1, akkor a betegség gyorsan kihal. Míg ha R0>1, akkor a fertőzések száma hamar megtöbbszöröződik és járvány tör ki. R0=1 tehát egy kritikus érték (matematikailag ezt bifurkációs pontnak nevezzük), és a végkimenetelt meghatározza, hogy ennek a kritikus értéknek melyik oldalán vagyunk.

A reprodukciós szám a legalapvetőbb fogalom a matematikai járványtanban. Minden új matematikai modell esetén az az első, hogy ezt kiszámoljuk. Heesterbeek holland professzor PhD-értekezésének csupán ennyi volt a címe: R0.
 

Most nézzük meg, hogyan módosítja a reprodukciós számot, ha a birkanyájunk egy részét immunissá tesszük. A példa kedvéért tegyük fel ismét, hogy R0=3, és ez úgy áll elő, hogy egy fertőzött birka 30 másikkal kerül közelebbi kapcsolatba, és minden ilyen találkozás esetén 10% a fertőzés esélye. Világos, hogy ha a nyáj kétharmada immunis, akkor a 30 találkozásból 20 esetben immunissal találkozik a fertőző birka, így a potenciális fertőzési alkalmak száma csupán 10, ennek 10%-a 1. Máris ott vagyunk, hogy reprodukciós szám 1-re csökkent. Ha kétharmad fölé emeljül az immunitási arányt, a reprodukciós szám 1 alá megy és nem tud járvány kialakulni. Általánosan, tegyük fel, hogy a birkák V részét immunissá tettük, vagyis (1-V) arányban vannak a megfertőzhető egyedek. Ekkor az új reprodukciós számunk

Rv = R0 × (1-V) .

A cél a fentiek fényében Rv<1, ami ekvivalens azzal, hogy

1-1/R0 < V.

Ez az egyszerű összefügés mondja meg, egy populáció mekkora részét kell immunissá tenni, hogy ne törjön ki járvány (ami nem teljesen ugyanaz, mint a szükséges oltottsági arány, ha a vakcina hatékonysága nem 100%-os). Ezt „herd immunity”-nek nevezik (közösségi immunitás), amikor egy populáció összességében védett a betegséggel szemben, annak ellenére, hogy nem minden egyede az, és természetesen nem csak birkanyájra lehet alkalmazni. Az alábbi táblázat néhány emberi betegség reprodukciós számának becslését és a szükséges kritikus immunitási arányt tartalmazza.

Betegség

Reprodukciós szám

Kritikus immunitási arány

torokgyík

6-7

83-86%

kanyaró

12-18

92-94%

mumpsz

4-7

75-86%

szamárköhögés

12-17

92-94%

gyermekbénulás

5-7

80-86%

rózsahimlő

5-7

80-86%

feketehimlő

5-7

80-86%

spanyolnátha

2-3

50-67%


 

Kérdés, hogy ez működik-e a gyakorlatban? Részben igen, részben nem. A szörnyű feketehimlőt sikerült felszámolni, pedig nyilván nem volt a Föld összes lakosa beoltva. Az oltási program előtti évben, 1967-ben még 10 millió ember fertőzödött meg ezzel a szörnyű betegséggel, 1975. óta pedig senki. A feketehimlő felszámolásáról itt olvasható egy érdekes cikk. Hasonlóan a gyermekbénulás is lényegében eltűnt a fejlett országokból. A kanyaró esetében a vakcinaellenes hisztériának és vallási okoknak köszönhetően az oltottsági arány több helyen is a kritikus szint alá csökkent, így évtizedek után ismét több fejlett országban kanyarójárvány tört ki, halálos áldozatokkal.

Ugyanakkor a fenti kis számolásunk azon az egyszerűsítő feltételezésen alapult, hogy a populációnk homogén (mindenki egyforma), és az egyedek véletlenszerűen keverednek. A világban pedig sok heterogenitás található. Ezek figyelembevételére már komolyabb modellekre van szükség.

Az első matematikus, aki járványokkal foglalkozott, Daniel Bernoulli volt 1766-ban a himlő kapcsán írt dolgozatával, amivel másfél évszázaddal megelőzte korát. A 20. század elején a malária elleni munkásságáért Nobel-díjban részesült Ronald Ross ösztönözte a matematikai módszerek használatát, majd az ő kollégái, Kermack és McKendrick alkották meg 1927-ben a nevezetes SIR-modellt, amely a ma is használt kompartment-modellek jó részének az őse. Végezetül egy kis etimológia: a vakcina szó eredete a latin vacca (tehén). Edward Jenner vette észre, hogy a tehénhimlőn átesett fejőnők védettséget szereztek és nem kapták el a feketehimlőt. A szintén latin immunis szó pedig eredetileg a katonai szolgálat alól való mentességet jelentette.


 

 

 

 

 

· 3 trackback

A bejegyzés trackback címe:

https://nemlinearis.blog.hu/api/trackback/id/tr38718872

Trackbackek, pingbackek:

Trackback: Hülyeség ellen nincs oltás, de sok más ellen van - 2. 2013.07.25. 22:02:47

(Az előző posztban a feketehimlő és polio elleni harc eredményességén keresztül próbáltam bemutatni, hogy mennyire hatásos lehet egy megfelelő módon kivitelezett oltási program. Most az elmúlt évtizedek egyik legkártékonyabb szélhámosának segítségével ...

Trackback: Hülyeség ellen nincs oltás, de sok más ellen van - 1. 2013.07.16. 10:04:02

2008-ban, London Brent kerületében, ahol akkor laktam, hirtelen mindenütt a National Health Service (NHS) poszterei tűntek fel, amelyek a kanyaró elleni oltásra buzdították a lakosokat, külön kiemelve a gyerekek beoltásának fontosságát. Nem egy "mezei...

Trackback: Influenza-para - 8. 2009.11.09. 17:28:05

Régóta lóg a levegőben a korábbi ígéretem, hogy kicsit behatóbban is foglalkozunk az aktuális influenza vírussal és azt hiszem a mostani hisztériánál keresve sem lehetne jobb időzítést találni. Természetesen egy sorban is el lehetne intézni, hogy most a…

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

misc · http://misc.blog.hu 2008.10.17. 20:21:50

érdekes és világos összefoglalás.

számomra az tűnik az egész szépséghibájának, hogy a matematika szerepe itt szinte semmi, a mérésekre és durva becslésre alapuló adatok a fontosabbak. Hogyan lehet pontosan meghatározni, hogy két egyed érintkezésénél mennyi a fertőzés valószínűsége illetve azt, hogy egy egyed hány másikkal érintkezik?

ern0 · http://linkbroker.hu/ 2008.10.17. 22:19:24

Scumm, van néhány módszer, amivel a bizonytalanság mértékét becsülni, hatását tompítani lehet.

Nemlineáris · http://nemlinearis.blog.hu 2008.10.22. 13:54:16

SCUMM, ez egy nagyon jó kérdés! Általában nehéz közvetlenül mérni a kontaktszámot és a fertőzési valószínűséget (igazából minket a kettő szorzata érdekel, és azért vannak esetek, amikor ezt elvileg könnyű meghatározni, például a szexuális úton terjedő betegségeknél).
De ilyenkor segíthet a matematika!
Ha van egy dinamikus modellünk a járvány terjedésére (pl. az említett SIR modell, vagy egy variánsa), akkor le tudunk vezetni a differenciálegyenletek ügyes integrálásából egy úgynevezett végállapot-egyenletet, ami így néz ki:

log(S*) = R_0 x (S*-1),

ahol S* azoknak az aránya, akik nem lettek betegek a járvány egész ideje alattt. Ezt történelmi adatokból viszonylag pontosan meg lehet becsülni, és ebből kiszámolható R_0 egy adott betegségre.

Ha komolyabban érdekel, ezt az áttekintő cikket ajánlom, sok konkrét esetet bemutat, hogyan kaphatjuk meg R_0-t matematikai modellekből vagy epidemiológiai adatokból:
www.mathstat.uottawa.ca/~rsmith/R0Review.pdf

fec2000 2009.05.09. 22:22:03

Nu! Engem a témakörban más is érdekelne:
Hallottam vhol, messze Északon egy elszigetelt kikötővárosban egy orvos felfigyelt, hogy a tenger befagyásával a hajóforgalom leállásával, az addig rendszeres megfázások hirtelen megszűntek. Abbamaradt a járvány. Tavasszal, olvadáskor újraindult.
Arra következtettek, hogy minden járványnak van egy kritikus emberömege, amely alatt nem indul meg. A hajóforgalom bekapcsolta a várost a "világfaluba", annak elmaradása pedig lekapcsolta róla, s így a megfázási járvány kritikus tömege alá csökkent a városka lakossága.
KI tud erről többet?

Nemlineáris · http://nemlinearis.blog.hu 2009.06.08. 19:37:55

@fec2000:
kicsit késve válaszolok, de ilyen tényleg lehetséges. Azon múlik, hogy egy adott betegségnél milyen összefüggés van a népsűrűség és a kontaktszám között. Sok betegségnél a nagyobb népsűrűség átlagosan több kontaktot és így nagyobb R_0-t jelent (de nem mindig). Így előfordulhat, hogy éppen egy kis népességváltozáson múlik, hogy az a bizonyos R_0 az 1 alatt vagy felett lesz.