Ez a számláló a poszt nézettségét mutatja. Mindenképp olvasd el ezt a posztot a részletekért.

Nemlineáris Blog

Nemlineáris dinamika. Alkalmazott matematika. Bifurkáció és káosz. Differenciálegyenletek és alkalmazásai. Szegedi matematika. Matematikai hírek, emberek, érdekességek.

facebook

Hirdetés

Friss topikok

Üzenet/Javaslat

A nemlinearis(kukac)freemail(pont)hu címen üzenhetsz, vagy javasolhatsz témát a blog szerzőjének.

Címkék

alhambra (1) alice (1) áltudomány (1) arnold (1) autista (1) autogram (1) bioritmus (1) bolgár (1) bolyai díj (1) bor (1) csoportos teszt (1) csuka (1) czeizel (1) dawkins (1) dekoltázs (1) diákolimpia (1) diszkrét dinamikai rendszerek (1) doktori (1) down szindróma (1) du sautoy (2) erdős (1) erdős szám (1) európai matematika kongresszus (1) facebook (1) fail (1) favágó (1) fermat (1) fields medál (3) foci (1) fraktál (3) fraktálok (1) függvény (1) fundamentális lemma (1) galois (1) gardner (1) géntérkép (1) gömböc (2) gráf (1) gyilkosság (1) hausel tamás (1) hellókarácsony (1) holland (1) hollywood (1) homeopátia (1) hülyék (1) idiotizmus (1) időgép (1) immunitás (1) india (1) influenza (1) inga (1) intel (1) interjú (5) iterált (1) japán (1) járvány (3) kalkulus (1) kaotikus (1) karrier (1) képlet (1) kézfogás (1) kneubühl (1) kollaboráció (1) könyv (1) koordinátageometria (1) krakkó (1) kriptográfia (2) kürschák (1) kutatok ejszakaja (1) kutatók éjszakája (1) kvantummechanika (1) kvíz (1) kyoto díj (1) lander (1) lax péter (1) lemma (1) lewis carroll (1) lovász (6) lovász lászló (1) mandelbrot (2) manga (1) maradona (1) matematikus (1) maverick (1) meteor (1) modellezés (1) moziműsor (1) mta (1) musical (1) művészet (2) natalie portman (2) neumann (2) ngo bao chau (1) ngo bau chao (1) nyugdíjas (1) obama (1) olimpia (1) oltás (1) öngyilkosság (1) optimalizálás (2) oscar (1) oxford (1) pályázat (1) parkolás (1) párosítás (1) pécs (1) pi (2) piatetski shapiro (1) proktometria (1) reklám (1) rekord (3) riesz (1) ritoók zsigmond (1) rocksztár (1) royal society (1) rubik (1) ruzsa (2) sigmund freund (1) spanyol (1) statisztika (1) stipsicz (1) svájci (1) szakma (1) számelmélet (1) számítógép (1) szeged (5) szemerédi (1) szemerédi endre (1) szifilisz (1) Szilágyi Áron (1) szimmetria (1) sztori (2) születésnap (1) tanácsadó (1) tanár (1) tanmese (1) tao (2) tardos gábor (1) ted (1) természet világa (2) tévhit (1) texas (1) time magazin (1) transzplantáció (1) tréfa (1) turing (1) valentin nap (1) vasút (1) vb (1) victoria (1) villani (1) vizi e (1) wolfram (1) záróra (2) zeneszerző (1) Címkefelhő

Szegedről származnak a fraktálok?

2009.02.08. 16:25 - Nemlineáris

Címkék: szeged fraktál mandelbrot neumann riesz

Nemrég olvastam az alábbi matematikatörténeti érdekességet egy könyvben [1], amely szerint elképzelhető, hogy a legnevezetesebb fraktál, a  Mandelbrot-halmaz eredetét Szegeden kell keresni.

 [1] Tóth J., Simon L.P., Differenciálegyenletek, Typotex 2005

 

 

1952-ben a magyar nyelvű Matematikai Lapok feladatrovatában a szegedi Riesz Frigyes (a valaha élt egyik legnagyobb magyar matematikus) az alábbi problémát tűzte ki:

" Milyen z1 komplex számokból kiindulva ad adott komplex a mellett a zn+1 = (1/2)(zn2 + a) iteráció konvergens sorozatot?"

Két évvel később Hajós György, a feladatrovat szerkesztője ezt írta: "Az 54. feladatra, melyet szerzője a megoldást nem ismerve tűzött ki, megoldás nem érkezett. Ha a jövőben megoldás érkezik erre a feladatra, azt közölni fogjuk."

Benoit Mandelbrot éppen ilyen iterációk tanulmányozása nyomán vezette be a fraktál fogalmát.

- No de mi a kapcsolat a Matematikai Lapok és Benoit Mandelbrot között? - kérdezheti teljes joggal az olvasó. Mandelbrot volt Princetonban Neumann János utolsó posztdoktori kutatója, és az ottani könyvtár, a Fine Hall Library megkapta a magyar nyelvű Matematikai Lapokat, amit minden bizonnyal Neumann is szívesen lapozgatott,  Mandelbrot pedig Neumanntól kapta a kutatási problémáit. Természetesen ez csak spekuláció, nem lehetünk benne biztosak, hogy valóban Riesztől Neumannon át jutott el a probléma Mandelbrotig, de könnyen elképzelhető. Talán csak maga Mandelbrot tudná megmondani, miért is kezdett ezzel a kérdéssel foglalkozni. A Fractals and Chaos című könyv előszavában felsorolja azokat a matematikusokat, akik nagy hatással voltak rá, és Neumannt nem említi, azt viszont igen, hogy az ötvenes évek elején kezdett munkája teljesedett ki végül a hetvenes évek végén a fraktálok elméletével.

A képeken látható Mandelbrot-halmaz azon c komplex számokból áll (itt elolvasható, hogyan kell komplex számokkal számolni), amelyekre a zn+1 = zn2 + c komplex másodfokú polinom iterálásával kapott, a 0 pontból induló sorozat korlátos (vagyis tudunk rajzolni a komplex síkra egy olyan kört, hogy a sorozat minden eleme a körön belül lesz). Ez tehát a 0, c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ... sorozat. Könnyen látható, hogy ha például c=3, akkor a sorozat (0,3,12,147,...) a végtelenbe tart, tehét a 3 az nincs benne a Mandelbrot-halmazban. Ellenben ha c=i (a képzetes egység), akkor a kapott sorozat 0, i, (−1 + i), −i, (−1 + i), −i…, ami korlátos, tehát eleme a Mandelbrot-halmaznak. Ha feketére színezzük azokat a pontokat a komplex számsíkon, amelyek a Mandelbrot-halmaz elemei, akkor a fenti fekete-fehér ábrát kapjuk. Az alábbi színes képeket (ráklikkelve meg lehet őket nézni nagyobb felbontásban) olyan algoritmusok generálják, amelyek aszerint színezik a pontokat, hogy a hozzájuk tartozó sorozat mennyire gyorsan vagy lassan nő.

 Ez az egyik legegyszerűbb nemlineáris diszkrét dinamikai rendszer, mégis ez az egyszerű szabály egy fantasztikusan gazdag struktúrát határoz meg. A fraktál szó a latin fractusból (töredezett) ered, és általában olyan önhasonló halmazokat jelent, amelyek tetszőleges kicsi skálán nézve is ugyanolyan szerkezetet mutatnak, vagyis ha erősen "rázoomolunk", akkor is hasonló dolgokat látunk. A fraktálokról és a kapcsolódó színezési algoritmusokról, programokről óriási mennyiségű információ található az interneten.

 

 

 

 

 

 

 

Végül egy video a Mandelbrot-halmaz nagyításáról:

 

A bejegyzés trackback címe:

http://nemlinearis.blog.hu/api/trackback/id/tr31929184

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a Felhasználási feltételekben.

EÖ (törölt) 2009.02.08. 17:19:28

érdekes
kösz a cikkért
Malcolm most örülhet.... :)

tothmari 2009.02.08. 18:17:33

Nem lehetetlen, hogy Riesz is(!) hatással volt Mandelbrotra, de jóval az 50-es évek előtt ilyen, ehhez hasonló fraktálokat eredményező iterációkkal már foglalkoztak matematikusok. Ha jól emlékszem a XX. század 20-as éveiben. Julia nevéhez fűződnek jelentős eredmények. Ezek az ún. Julia halmazok.
Erről a Scientific Americanban olvastam kb. 1990 tájékán.
A fraktálok addig csak papíron létező, néhány matematikust érdeklő dolgok voltak, mígnem a számítógép megjelenésével egyrészt jó nagy mélységig ki lehetett számolni az iterációkat, másrészt a grafikus megjelenítés is lehetővé vált. Azóta bebizonyosodott, hogy számos alkalmazási terület van, és szoros kapcsolat a természettel, biológiával. A szgépes animációról nem is beszélve.
Szóval NEM Mandelbrot fedezte fel a fraktálokat, de nem is Riesz! És ezt soha nem is állította, hogy a fraktálokat ő találta volna fel. Illene ezt javítani.
De Mandelbrot nevéhez fűződik egy bizonyos iteráció részletes elemzése és grafikus megjelenítése, amit Mandelbrot halmaznak nevezünk, és nagyon érdekes és jelentős tulajdonságokkal rendelkező halmaz.

DnP 2009.02.08. 18:39:42

Anno C64 en simon's basicben irtam egy progit ami kirakott egy 320*200as mandelt. Reggel beirtam, hogy run, elmentunk strandra, majd mire hazaertem epp vegzett vele :) Most telcsim szinte realtimeban tud ekkora felbontasban zummolgatni... haladunk.

tothmari 2009.02.08. 18:51:06

Igen, így van. Mi is csináltunk c64-en Mandelbrotot. És maga az iteráció is annyira egyszerű, hogy még a gyerekeknek is könnyen el lehet mondani. És épp ezért zseniális cucc ez! Hogy mi jön ki belőle.

tothmari 2009.02.08. 18:52:24

DnP nem szegedi vagy véletlenül?

Romboljuk le a modern világot... (törölt) · http://www.youtube.com/watch?v=9vq63q45qfk 2009.02.08. 19:25:40

anno c64en art studióval pucér nööket rajzoltam mire apám megkérdezte: fiam, ezért vettük ezt a drága gépet?

kpityu2 2009.02.08. 19:35:12

Engem az érdekelne, hogy Riesz miért épp ezt kérdezte ?

DnP 2009.02.08. 19:51:13

Tothmari: Nem :) Eddig 1X voltam Szegeden, egy kromatografias konferencian. Pest kozeleben lakom egy kisebb "varosban" :) kb 60km

Nemlineáris · http://nemlinearis.blog.hu 2009.02.08. 19:59:36

@tothmari:
Az igaz, hogy szigorúan néve nem Mandelbrot fedezte fel a fraktálokat, hiszen fraktálszerű halmazok már korábban is ismertek voltak (pl a Koch-görbe, vagy akár a Cantor-halmaz).
Viszont ő vezette be a fraktál kifejezést a nem-egész dimenziójú halmazokra és ő tárta fel az igazi szépségüket. A gőzgépet sem James Watt fedezte fel (pedig az iskolában úgy tanítják), viszont hatékonyabbá tette és elterjesztette. Azért kijavítottam, így már szerintem nem kifogásolható.

@kpityu2:
Nem hiszem, hogy ezt bárki is meg tudná mondani. Riesz kiváló matematikus volt, és valószínűleg ráérzett, hogy ez egy érdekes és nemtriviális probléma. De az is lehet, hogy egy egész más téma kapcsán botlott bele pont ebbe a kérdésbe.

kpityu2 2009.02.08. 20:16:34

Csak azért merült fel bennem, mert igen egyszerű a képlet és a kérdés (illetve a válasz) mégis messzire vezet. Márpedig ez a kombináció általában egy nagyon alapvető és általános problémát takar.

marpeter 2009.02.08. 20:49:55

Jo cikk! A fraktalok mindig is egy erdekes tema, talan meg a matematika irant nem igazan erdeklodoknek is.
Jah, es gratula az index kezdolaphoz!:)

Normális 2009.02.08. 22:31:21

Egy veterán és igazán remek fraktál-gneráló program a Fractint. Mai lelőhelye:
spanky.triumf.ca/www/FRACTINT/FRACTINT.HTML

ivjoe · http://lorem.hu 2009.02.08. 23:43:26

Mandelbot Set dal!!! :DD
Hihetetlen jó. :)

circulus 2009.02.13. 02:40:32

Persze a fraktálok! Na és természetesen a " nemlineáris" dinamika, ill. matemetika! Jó lenne talán ezzekkel folgalkozni egy kicsit. Mán mint a " nemlineáris" matek vagy fizika dolgaival. Mert a fraktálok nagyon szépek meg minden. Olyan eset ez mint egy szép képet fotozni az esti égboltrol s azt hinni hogy ezzel mán ismerjük az univerzumot. Nana! Miért nemlineáris valami folyamat? Azért mert nem tudjuk mit jelent ill. hogyan történik? Nem beszélve a nemlineáris matekról. Ha egyáltalán van illen. Sok szép dolog van itt leirva. Tele idézetekel, meg hogy hun nézheted az internetten...Nem lenne rossz ha elkezdené magyarázni mi is az hogy nemlineáris! azaz mire fogják rá s mennyi matekot meg egyebeket szépitenek ki a fizikusok hogy kimagyarázzák a dolgokat...DE ha ezt öszintén tennétek akkor izgalmasabb lesz mit Körösi Csoma utazása.... persze soha nem lesz tibeti ( nemlinearis) szótár belole ... ki tudja?

circulus 2009.02.17. 21:06:01

Linearisan hallgat ez a topic
bye